TEOREMA DE BRIDGMAN

            Se, empiricamente, for constatado que uma determinada grandeza física X depende das grandezas A, B, C, ...., independente entre si, então X pode ser expressa da seguinte forma:

X = cte. A^a.B^b.C^c...

 cte. = fator puramente numérico, cujo valor é determinado mediante experiências.

EXEMPLO:

            Numa experiência, verifica-se que o período (T) de oscilação de um sistema corpo-mola depende somente da massa (m) do corpo e da constante elástica (K) da mola. Então, pelo Teorema de Bridgman:

T = cte. m^a.k^b

            Para se determinar a fórmula do período, aplica-se a análise dimensional:

[T] = [cte]. [m] ^a. [k]^b

T = l. M ^a. (MT ^-²) ^b  

T = l. M ^{a + b.} T ^{– 2b}

temos;

 

Portanto:

             

ou    cte = 2p

EXERCÍCIOS

AD01) A força centrípeta depende da massa (m), da velocidade escalar (v) do objeto e do raio (R) da órbita do movimento. Determinar a equação de definição da mesma.

Fc = f(m, R, v)

AD02)  Sabe-se que o período de um pêndulo simples pode depender de seu comprimento (l), da massa (m) e da aceleração da gravidade (g) local. Determine a equação que relaciona as grandezas citadas, baseando-se em considerações dimensionais.

T = f (l,m, g)

AD03) Estudando um determinado fenômeno físico, um pesquisador conclui que a velocidade do objeto em estudo depende de certa força (F), de certa massa (m) e de certo comprimento (l).

            Através da análise dimensional das grandezas citadas, determine uma possível expressão monômica para v = f(F, m, l).

AD04) Sabe-se que a velocidade de propagação de uma onda deve ser função da densidade (d) do meio, do módulo de Young ( E = força/ área) e da freqüência (f) do movimento ondulatório.

     Deduza, através da análise dimensional, a função.

           

                  V = f (d, E, f)

05AD) Um objeto esférico, de raio R, move-se  com velocidade v,através de um fluido de viscosidade h. Sabe-se que a força de atrito viscoso Fv depende de v,h, e R. O coeficiente de viscosidade h tem dimensão.

[h] = M.L. T

a)      Qual é a dimensão [F] da grandeza força?

b)      Utilize a análise dimensional para determinar a relação entre a força viscosa Fv e as variáveis R, h e v.

AD06) Em que unidade deverá ser medida, no SI, a grandeza k para que P seja medida em watts?

                                   P = 

            Sendo v = velocidade, m = massa, L = comprimento e T = tempo.

AD07) Se as grandezas fundamentais são comprimento, massa e tempo, a grandeza mecânica X tem fórmula dimensional da forma: [X] = Lª.M^b.T^c. Então, assinale o conjunto incorreto.

X               a          b          c

            a) aceleração               1          0          -2

            b) força                       1          1          -2

            c) trabalho                   2          1          -2

            d) potência                  2          1          -3

            e) n.d.a

AD08) Qual das seguintes expressões é a fórmula dimensional da intensidade de força?

a) LM¹ T¹                           

b) Lº M¹ T¹                            

c) L¹ Mº T¹

d) L¹ M¹ T^-2

e) L² M¹ Tº

AD09) Quais são as dimensões da constante da gravidade universal G em função das grandezas fundamentais do SI?

a)      M^-1L³T^-2

b)      M^-1 L³ T²

c)      MLT ²

d)      ML^-1 T^-2

e)      n.d.a.

AD10) Na expressão , X  representa um distância ; v, uma velocidade; a. uma aceleração e k uma constante adimensional:

X = k 

Qual deve ser o valor do expoente n para que a expressão seja fisicamente correta?

a)      1/3

b)      1/2

c)      1

d)      2

e)      3

AD11) Se watt e joule não tivessem sido adotados com nomes das unidades do SI, de potência e de trabalho, a unidade de potência poderia ser escrita do seguinte modo:

a)      Kg.m.s^-2

b)      N.m.s^-2

c)      N.m.s^-1

d)      Kg.m^-1

e)      N.m^-2:s^-2

AD12) (Unirio-RJ) Para o movimento de um corpo sólido em contato com o ar foi verificado experimentalmente que a intensidade da força de resistência F, é determinada pela expressão F_r = k . v², na qual v é o módulo da velocidade do corpo em relação ao ar, e k, uma constante.

A unidade de k, no Sistema Internacional (SI) é dada por:

a) kg . m ^-1 

b) kg . m

c) kg . m . s ^-1

d) kg . m  ^-1. s ^-2

e) kg . m² . s ^-2

AD13) (Mack - SP) Na equação dimensional homogênea x = a.t² - b.t³, em que x tem a dimensão de comprimento (L) e t tem (T), as dimensões a e b são, respectivamente:

            a) LT e LT^-1

b) L²T³ e L^-2T^-3

c) LT^-2 e L^-3

d) L^-2 e T^-3

e) L² T³ e LT^-3

AD14) (ITA-SP) Os valores  de x, y e z para que a equação: (força)^x (massa)^x = (volume) (energia) ^z seja dimensionalmente correta são, respectivamente:

a)      (-3, 0, 3)

b)      (-3, 0, -3)

c)      (3, -1, -3)

d)      (1, 2, -1)

e)      (1, 0, 1)

AD15) (Fuvest-SP) Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo V da velocidade de propagação do som, com a pressão P e a massa específica r (kg/m³), num gás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo v^a = , onde C é uma constante adimensional . Analisando as dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes a e b são:

a)      a = 1 e b = 2

b)      a = 1 e b = 1

c)      a = 2 e b = 1

d)      a = 2 e b = 2

e)      a = 3 e b = 2

RESPOSTAS

AD01) Fcp = 

AD02) T = cte

AD03) v = cte 

AD04) v = cte 

AD05)  a) F= MLT^-2      , b) Fv = cte. Rhv

AD06) s²

AD07) E

AD08) D

AD09) A

AD10) D

AD11) C

AD12) A

AD13) C

AD14) B

AD15) C

HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL

            Uma equação que traduz uma lei física é homogênea. Neste caso as parcelas constituem os dois membros da igualdade apresentam os mesmos símbolos dimensionais, tendo respectivamente as mesmas dimensões.

EXEMPLO: Verifique se há homogeneidade na equação definida da energia potencial gravitacional. (E_P = m.g.h)

RESOLUÇÃO:

1º membro à [E_P] = M. L². T ^-2

2º membro à [mgh] = M. L. T ^-2 = M. L². T ^-2

Fica assim demonstrada a homogeneidade dimensional de uma equação.

OBS.: A homogeneidade de uma equação é critério de verificação de sua validade, ou seja, é uma condição necessária, mas não suficiente para que uma equação seja correta.

EXERCÍCIOS. Verifique se há homogeneidade nas equações abaixo:

1)      S = S₀ + v.t

2)      F = m.a

3)      E = m.c²

4)      S = S₀ + v₀ .t + 

5)      V² = V₀² + 2. a. t

Análise Dimensional

Em Física todas as grandezas podem ser expressas em função das fundamentais, representadas dimensionalmente por meio de símbolos de dimensões.

            A seguir, estão relacionados os símbolos dimensionais das grandezas físicas fundamentais ou primitivas do S.I.

           

L	=	[comprimento]
T	=	[tempo]
M	=	[massa]
I	=	[intensidade de corrente elétrica]
N	=	[quantidade de matéria]
I O	=	[intensidade luminosa]

            OBS.:

a)      O símbolo dimensional de um número real é 1 (um);

b)      O símbolo dimensional do ângulo plano é 1 (um).

EQUAÇÃO DIMENSIONAL

            Toda grandeza física pode ser expressa, matematicamente, em função de outras grandezas físicas, através da equação dimensional.  

            É comum que se adote as grandezas fundamentais do S.I. para se escreverem as equações dimensionais. Assim, uma grandeza mecânica (X), que depende da massa, do comprimento e do tempo, tem sua equação dimensional escrita da seguinte forma.

[X] = M^a. L^b. T^c

           

OBS.: a, b, c representam dimensões das grandezas.

EXEMPLO: Determine a fórmula ou equação dimensional da velocidade escalar linear. (os símbolos dimensionais fundamentais do S.I.)

RESOLUÇÃO:      V =  

[V] =  =       [V] = L. T ^-1

EXERCÍCIOS.

Utilizando-se dos símbolos dimensionais das grandezas fundamentais do S.I., determine as fórmulas dimensionais.

1)      aceleração escalar linear ( a = )

2)      força ( F = m.a)

3)      energia cinética ( E_c = )

4)      trabalho ( F.d)

5)      quantidade de movimento ( Q = m.v)

6)      pressão (p = )

7)      área  ( A =  b. h )

8)      volume ( V = A_b . h)

9)      constante elástica (K = )

10)   quantidade de carga (q = i.t)